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By Dr. Ludwig Bieberbach (auth.)

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The Fractional Laplacian - download pdf or read online

The fractional Laplacian, also referred to as the Riesz fractional by-product, describes an strange diffusion approach linked to random tours. The Fractional Laplacian explores purposes of the fractional Laplacian in technological know-how, engineering, and different components the place long-range interactions and conceptual or actual particle jumps leading to an abnormal diffusive or conductive flux are encountered.

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Example text

1 u,. < l, so ist also Daraus folgt uN+h < lhuN. Also sind die Glieder der Reibe uN + uN+l kleiner als die Glieder der konvergenten geometrischen Reihe: ttN luN l 9uN Also ist die Reihe uN uN+l gleichfalls konvergent. Die Summe der vorgelegten Reihe u1 11s + · · · u,. + · · · ist dann noch um die Summe 8 9 _ 1 = '11 1 + uN-t größer. Sie konvergiert also auch. (Wir + ··· + + · ·· + + ··· + + + + ... ) Ganz ebenso beweist man das Divergenzkriterium. Aus derselben Wurzel stammt das folgende Kriterium: Falls 1 (k von n unabhlingig), für fast alle n dm· Ausdruck u,.

B. die unendliche Reihe 1 1 1 deren Glieder alle gleich eins sind, keine Summe, denn hier ist s,. = n und lim n existiert nicht. Denn es gibt z. B. keine Zahl, + + + ·· ·, n~oo die von fast allen diesen Teilsummen um weniger als 1 verschieden ist. Ebenso besitzt die Reihe 1 - 1 + 1 - 1 + ···, deren Glieder 1 oder - 1 sind, keine Summe. Denn die Teilabwechselnd summen sind abwechselnd 1 oder 0. Es gibt aber z. B. keine Zahl, die von + 1 und von 0 weniger als t verschieden wäre. Dagegen besitzt die unendliche geometrische Reihe + 1 + + t + (t)' + ...

Wir wollen zunächst feststellen, daß die Summe einer nicht absolut konvergenten Reihe durch passendes Umstellen der Reihenglieder beeinflußt werden kann. Wir bemerken dazu, daß wegen der Konvergenz der ~t-Reibe die Glieder der p- und der n-Reibe gegen Null konvergieren. Da beide Reihen divergieren, gibt es in beiden beliebig große Teilsummen, da sie sonst wegen des gleichen Vorzeichens aller Glieder konvergieren müßten. Nach dieser Vorbemerkung wollen wir zeigen, daß bei passender Anordnung der Glieder die u-Reihe jeden beliebigen Wert erhalten kann.

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