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By Mohamed Elkadi

Les ?quations polynomiales apparaissent dans de nombreux domaines, pour mod?liser des contraintes g?om?triques, des family entre des grandeurs physiques, ou encore des propri?t?s satisfaites par certaines inconnues. Cet ouvrage est une advent aux m?thodes alg?briques permettant de r?soudre ce sort d'?quations. Ces m?thodes sont accompagn?es d'algorithmes, d'exemples et d'exercices, illustrant leurs purposes.

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2. Appartenance d’un polynˆ ome au radical d’un id´eal . 3. Syst`eme polynomial sans solution . . . . . . . . . 4. Id´eaux d’´elimination et r´esolution polynomiale . . . 7. Bases de Gr¨ obner des sous-modules de K[x]m . . 1. Relations entre polynˆ omes . . . . . . . . . . . . . 8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 28 34 36 38 39 39 40 40 40 41 41 42 M. Elkadi & B. Mourrain R´esolution des syst`emes polynomiaux Dans ce chapitre, nous allons d´efinir les notions de formes normales et de bases de Gr¨obner, puis donner quelques unes de leurs applications qui seront utiles par la suite.

Xn ) ⊂ I, alors I ZPn (K) (I) = I. 19. 1. Calculer explicitement les solutions (x1 , x2 , x3 ) du probl`eme de positionnement de la cam´era dans le cas g´en´erique en fonction des param`etres cos(α), cos(β), cos(γ), a, b, c et des racines d’un polynˆ ome de degr´e 8 que l’on d´eterminera. 2. 1), v´erifier que pour toute forme lin´eaire g´en´erique l(x1 , x2 , x3 ), l’espace vectoriel A = K[x1 , x2 , x3 ]/(I, l(x1 , x2 , x3 )) est de dimension 2. 1. 2. 3. 4. 5. Introduction . . . . . . . .

4. Montrer que tout id´eal admet une seule base de Gr¨obner r´eduite. 12. Soient I un id´eal de K[x] et G une partie finie de I. Montrer que G est une base de Gr¨ obner de I si, et seulement si, pour tout f ∈ I, le reste de la division de f par G est nul. 13. Soit I un id´eal de K[x]. Pour r ∈ {1, . . , n}, Ir = I ∩ K[x1 , . . , xr ]. 1. Montrer que si G est une base de Gr¨obner de I pour l’ordre lexicographique xn > · · · > x1 , alors G ∩ K[x1 , . . , xr ] est une base de Gr¨obner de Ir . 2.

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