Numerische Mathematik 2: eine Einfuehrung by Josef Stoer, Roland Bulirsch PDF

By Josef Stoer, Roland Bulirsch

Dieses zweib?ndige Standardlehrbuch bietet einen umfassenden und aktuellen ?berblick ?ber die Numerische Mathematik. Dabei wird besonderer Wert auf solche Vorgehensweisen und Methoden gelegt, die sich durch gro?e Wirksamkeit auszeichnen. Ihr praktischer Nutzen, aber auch die Grenzen ihrer Anwendung werden vergleichend diskutiert. Zahlreiche Beispiele runden dieses unentbehrliche Buch ab. Die Neuauflage des zweiten Bandes wurde vollst?ndig ?berarbeitet und erg?nzt um eine Beschreibung weiterer Techniken im Rahmen der Mehrzielmethode zur L?sung von Randwertproblemen f?r Gew?hnliche Differentialgleichungen.

"Das Lehrbuch ... setzt Ma?st?be f?r eine Numerik-Vorlesung und ist jedem Studenten der angewandten Mathematik zu empfehlen." Die Neue Hochschule

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Zur Beschreibung dieser Methode nehmen wir der Einfachheit halber an, daß A = A H reell ist; in diesem Fall kann ψ = 0 gew¨ahlt werden, Ω j k ist dann orthogonal. Man beachte, daß sich bei einer Linksmultiplikation A → Ω j−1 k A = H Ω j k A nur die Zeilen j und k von A a¨ ndern, bei einer Rechtsmultiplikation A → AΩ j k nur die Spalten j und k. Wir beschreiben nur den ersten Transformationsschritt, der aus zwei Teilschritten besteht, A = A0 → T1−1 A0 =: A′0 → A′0 T1 = T1−1 A0 T1 =: A1 . H Im ersten Teilschritt A0 → A′0 wird die Matrix T1 = Ω23 , T1−1 = Ω23 so gew¨ahlt [s.

Wegen Aq j−1 = γ j−1 q j−2 + δ j−1 q j−1 + γ j q j , folgt aus der Orthogonalit¨at der T ¨ qi f¨ur i ≤ j sofort (Aq j−1 ) H q j = γ¯j = γ j und damit q j−1 q j+1 = 0. Ahnlich schließt man f¨ur i < j − 1 mit Hilfe von Aqi = γi qi−1 + δi qi + γi+1 qi+1 : γ j+1 qiH q j+1 = qiH Aq j = (Aqi ) H q j = 0. Schließlich ist wegen span[q1 , . . 1b) q j+1 ∈ span[q j−1 , q j , Aq j ] ⊂ K j+1 (q, A), und damit span[q1 , . . , q j+1 ] ⊂ K j+1 (q, A) gilt. Da die q1 , . . , q j+1 als orthonormale Vektoren linear unabh¨angig sind und dim K j+1 (q, A) ≤ j + 1, folgt sofort K j+1 (q, A) = span[q1 , .

I ⎦ . 2) AQ i = Q i Ji + [0, . . , 0, γi+1 qi+1 ] = Q i Ji + γi+1 qi+1 eiT , i = 1, 2, . . , m, wobei ei ∈ R i der i-te Achsenvektor ei := [0, . . , 0, 1]T des Ri ist. Man best¨atigt diese Matrixgleichung sofort durch Vergleich der j-ten Spalten, j = 1, . . , i, auf beiden Seiten der Gleichung. Man beachte, daß die n × i-Matrizen Q i orthonormale Spalten besitzen, Q iH Q i = Ii (:= i-reihige Einheitsmatrix), und Ji relle symmetrische Tridiagonalmatrizen sind. F¨ur den Abbruchindex i = m ist Jm irreduzibel (d.

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